「カイジ闇の黙示録」で所持金をカンストさせる方法

どうも、prd_xxxです。ゴリ～～。

何かと話題のスマホゲーム、「カイジ闇の黙示録」、やってますか？？
ぼくはもうやってないです。
ちなみに自分の身の回りはポケモンLEGENDSアルセウスか、Wordle系ばっかり流行ってる気がします。
なのであんまり有用ではないですが、ぼくが所持金(エーン) をカンストさせた方法を書き残してみます。

カイジゲーム、INT_MAX でカンストしたｗ
おわりです pic.twitter.com/ycdwqUwrI3
— prd🦍 (@prd_xxx) January 29, 2022

2022/02/02 確認時点 (iOS版バージョン1.3) では、所持金の最大値は INT_MAX ( $=2147483647$ ) のようです。

方法

インストールします
画面下部「GAME」から「HIGH & LOW」を選びます
「HIGH & LOW」だけをひたすらやります

これだけだとそっけないので補足しますが、
HIGH & LOW はシンプルなゲームで、まず相手がトランプのカードを1枚表にして、
それを見たうえで次に自分が開けるカードが相手より数字が上か下か？を当てるゲームです
同じ数字であれば両者引き直しです。
(なお、「2」より「A」が上です。説明の都合上、以降 (J,Q,K,A) を (11,12,13,14) と表記します)
毎回プレーヤーが掛け金を決めて、勝つと掛け金が2倍になって貰えて、負けると没収です。
そして、勝つと ダブルアップ ができるのですが、これは掛け金を2倍にできて、以降4倍... 8倍... と連続で勝つごとに倍増させられます。もちろん途中で負けると没収です。

そこで所持金を簡単にカンストさせるための鉄則が3つあります

賭け金は毎回maxまでかけること (最大値はプレーヤーレベルによって異なります)
相手が「2～7」ならば「HIGH」、「9～14」ならば必ず「LOW」を選ぶこと。「8」ならどっちでも。
ダブルアップは必ず「はい」を選ぶこと。7連勝で強制ストップなので、7連勝での大勝ちのみを狙う。

一時的に負けが続くことがありますが、必ず勝ちを取り返せるのでもくもくと続けましょう
(特に序盤は借金になったりして不安になるかもですが、気にせずmaxを張り続けましょう)
あとはやる気があるかどうかですｗ
なお、この方法で3時間ぐらいあればカンストさせることができます。(合間にポチポチやってたので時間は適当ですが大体そんなもんです)

計算してみた

さて、上の鉄則を守ったうえで、相手がカードをまだ伏せた状態で自分が勝てる確率 $p$ を求めてみます。
相手のカードが $k$ だったときに自分が勝てる確率を $p_k$ とすると、
$p = \frac{\sum_{k=2}^{14} p_k}{13}$ となります。それぞれの $p_k$ は以下のようになります。

$p_2 = \frac{3p + 48}{51}$
$p_3 = \frac{3p + 44}{51}$
$p_4 = \frac{3p + 40}{51}$
$p_5 = \frac{3p + 36}{51}$
$p_6 = \frac{3p + 32}{51}$
$p_7 = \frac{3p + 28}{51}$
$p_8 = \frac{3p + 24}{51}$
$p_9 = \frac{3p + 28}{51}$
$p_{10} = \frac{3p + 32}{51}$
$p_{11} = \frac{3p + 36}{51}$
$p_{12} = \frac{3p + 40}{51}$
$p_{13} = \frac{3p + 44}{51}$
$p_{14} = \frac{3p + 48}{51}$

例えば相手のカードが $k = 4$ だったとき、 $p_4$ を考えると、トランプ52枚のうち表になっている1枚を除く51枚のうち、「HIGH」を選ぶと「5～14」の40枚で勝ち、「4」の3枚で引き分け、「2～3」の8枚で負けることになります。
引き分けた場合は相手も再度引き直しなので、 $p$ の確率で勝てるわけです。

$p = \frac{\sum_{k=2}^{14} p_k}{13} = \frac{39p + 480}{13 \cdot 51} = \frac{39p + 480}{663}$
$p = \frac{480}{663 - 39} = \frac{480}{624} = \frac{10}{13}$
となり、 $\frac{10}{13}$ で勝てることがわかりました。
なんと倍々にダブルアップさせてくれるのに、単発では77%ほどの確率で勝たせてくれますｗ

次に、ダブルアップで7連勝を目指し続けた場合の獲得金額の確率と期待値を求めてみます。
掛けた金額を $x$ とします。

事象	確率	獲得金額	期待値
1回目で負け	$1-p = \frac{3}{13} \simeq 23.1\%$	$-x$	$-x (1-p)$
2回目で負け	$p(1-p) = \frac{30}{169} \simeq 17.6\%$	$-2x$	$-2xp(1-p)$
3回目で負け	$p^{2}(1-p) = \frac{300}{2197} \simeq 13.7\%$	$-4x$	$-4xp^{2}(1-p)$
4回目で負け	$p^{3}(1-p) = \frac{3000}{28561} \simeq 10.5\%$	$-8x$	$-8xp^{3}(1-p)$
5回目で負け	$p^{4}(1-p) = \frac{30000}{371293} \simeq 8.1\%$	$-16x$	$-16xp^{4}(1-p)$
6回目で負け	$p^{5}(1-p) = \frac{300000}{4826809} \simeq 6.2\%$	$-32x$	$-32xp^{5}(1-p)$
7回目で負け	$p^{6}(1-p) = \frac{3000000}{62748157} \simeq 4.8\%$	$-64x$	$-64xp^{6}(1-p)$
7連勝	$p^{7} = \frac{10000000}{62748157} \simeq 15.9\%$	$127x$	$127xp^{7}$

7連勝のみを勝利としても、およそ 6.3回に1回は勝利できるとわかりました。
(リスクを全部無視した場合、6.3回に1回は掛け金が127倍になって返ってくるわけですね)

そして、いずれかの結果が出た時の獲得金額の期待値 $e$ は、
$e = 127xp^{7} - 64xp^{6}(1-p) -32xp^{5}(1-p) -16xp^{4}(1-p) -8xp^{3}(1-p) -4xp^{2}(1-p) -2xp(1-p) -x (1-p)$ $= (127p^{7} - 64p^{6}(1-p) -32p^{5}(1-p) -16p^{4}(1-p) -8p^{3}(1-p) -4p^{2}(1-p) -2p(1-p) -(1-p)) x$ $= (191p^{7} - 32p^{6} -16p^{5} -8p^{4} -4p^{3} -2p^{2} - p - 1) x$
$= (191(\frac{10}{13})^{7} - 32(\frac{10}{13})^{6} - 16(\frac{10}{13})^{5} - 8(\frac{10}{13})^{4} - 4(\frac{10}{13})^{3} - 2(\frac{10}{13})^{2} - \frac{10}{13} - 1)x$
$= \frac{191\cdot10^{7} -32\cdot10^{6}13 -16\cdot10^{5}13^{2} -8\cdot10^{4}13^{3} -4\cdot10^{3}13^{4} -2\cdot10^{2}13^{5} -10\cdot13^{6} - 13^{7}}{13^{7}} x$
$= \frac{748320793}{62748517} x$
$\simeq 11.9257x$